Журавлев Ю. И., Флеров Ю. А. Дискретный анализ.Разбиения

1.4.1.Число разбиений
Определение.

Разбиение конечного множества X, X = n, есть неупорядоченный набор  = {B1, B2 , ... , Bk} подмножеств множества X таких, что Мы называем Biundefined классом (блоком) разбиения  и говорим, что  имеет k классов. Пусть S(n, k) - число разбиений n - множества на k классов.
 * 1) Bi  для всех i от 1 до k;
 * 2) Bi Bj = , если i  j
 * 3) B1 B2 ... Bk = X.

S(n, k) называется также числом Стирлинга второго рода. 

Разбиения соответствуют размещениям n различных объектов по k одинаковым ящикам при условии, что каждый ящик не пуст.

Пример.

S (4, 2) =7. Действительно, четыре объекта {1, 2, 3, 4} можно следующим образом разбить на два класса:

{1}{2, 3, 4}; {3}{1, 2, 4}; {1, 2}{3, 4};

{2}{1, 3, 4}; {4}{1, 2, 3} {1, 3}{2, 4};

{1, 4}{2, 3}. 

Условимся полагать, что S(0,0) = 1.

Читатель должен убедиться, что для n  1 имеют место соотношения:

S(0, k) = 0 при k>0,

<p style="margin-bottom: 0cm">S(n, k) = 0 при k > n,

<p style="margin-bottom: 0cm">S(n, 0) = 0,

<p style="margin-bottom: 0cm">S(n, 1) = 1,

<p style="margin-bottom: 0cm">S(n,2) = 2n-1 1,

<p style="margin-bottom: 0cm">S(n, n) =1,

<p style="margin-bottom: 0cm">S(n, n  1) =

<p style="margin-bottom: 0cm">Утверждение 1.11. Числа Cтирлинга второго рода удовлетворяют следующему основному рекуррентному соотношению:

<p style="margin-bottom: 0cm"> S(n+1, k) = S(n, k  1) + kS(n, k). (1.12)

<p style="margin-bottom: 0cm">Доказательство.

<p style="margin-bottom: 0cm">Рассмотрим таблицу разбиений n+1 объекта на k классов.

<p style="margin-bottom: 0cm">1) Для некоторых разбиений (n+1)-ый объект есть единственный элемент в классе. Число таких разбиений есть S(n, k  1).

<p style="margin-bottom: 0cm">2) Для других разбиений (n+1)-ый объект не является единственным элементом класса ни для какого класса. Следовательно, существует kS(n, k) таких разбиений, так как каждому разбиению множества {1, ..., n} на k классов соответствует в точности  k разбиений, образованных добавлением элемента n+1 поочередно к каждому классу.

<p style="margin-bottom: 0cm">Таким образом, мы представили все разбиения n+1 элемента на k классов в виде объединения непересекающихся подмножеств разбиений двух перечисленных типов. Поэтому

<p style="margin-bottom: 0cm">S(n+1, k) = S(n, k  1) + kS(n, k).

<p style="margin-bottom: 0cm"> Утверждение 1.12. Число сюръективных отображений множества X, |X| = n, на множество Y (|Y| = m) равно m!S(n, m).

<p style="margin-bottom: 0cm">Доказательство.

<p style="margin-bottom: 0cm">Каждое сюръективное отображение X = {1,2,...,n} на Y = {y1,y2,...,ym} индуцирует разбиение X на m  различных классов 1,2,..., m (в класс i попадают все такие x, что f(x) = yi); наоборот, каждому разбиению X  на m классов соответствует m! сюръективных отображений X на Y. Действительно, выражение m!S(n, m) дает число способов разбить X на m классов, а затем линейно упорядочить классы, скажем, (B1, B2, ..., Bm). Свяжем последовательность (B1, B2, ..., Bm) с сюръективной функцией f, определенной формулой f(i) = yjundefined, если iBj. Это устанавливает требуемое соответствие между количеством сюръективных отображений и числом разбиений. 

<p style="margin-bottom: 0cm">Ниже приводится список некоторых основных формул для количества разбиений множества из n элементов на k классов - S(n,k).

<p style="margin-bottom: 0cm">'''1. Формула 1.'''

<p style="margin-bottom: 0cm"> (1.13)

<p style="margin-bottom: 0cm">Числа S(n, k) играют обратную роль по отношению к числам s(n, k) - позволяют перейти от базиса 1, x, x2,... к базису

<p style="margin-bottom: 0cm">Доказательство. Рассмотрим всевозможные отображения множества X из n элементов ( |X| = n) во множество Y из m элементов (|Y| = m). С одной стороны, по утверждению 1 .1 количество таких отображений есть mn. С другой стороны, каждое такое отображение есть сюръективное отображение множества X на подмножество BY. Для произвольного подмножества B Y, где |B| = k  n число сюръективных функций f: XB в соответствии с утверждением 1 .12 равно k! S(n,k). Учитывая, что подмножество B мощности k можно выбрать способами получаем формулу:

<p style="margin-bottom: 0cm"> (1.14)

<p style="margin-bottom: 0cm">Равенство ( 1 .14) можно рассматривать как равенство двух многочленов переменной x при всех целых положительных значениях x = m. Следовательно, эти многочлены тождественно равны между собой, так как их разность может быть либо тождественным нулем, либо должна иметь бесконечное число нулей, что невозможно. Справедливость формулы ( 1 .13) доказана. 

<p style="margin-bottom: 0cm">'''2. Формула 2.'''

<p style="margin-bottom: 0cm">Доказательство. Рассмотрим множество всех разбиений множества X={1, 2, ..., n+1} на m классов. Количество таких разбиений есть S(n+1, m). Все разбиения распадаются на различные типы, соответствующие разным подмножествам множества X, содержащим элемент n+1. Для каждого k- элементного подмножества B  X, содержащего элемент n+1, существует в точности S(n+1 k, m-1) разбиений множества X на m-1 класс, содержащих B в качестве класса. Действительно, каждое такое разбиение однозначно соответствует разбиению множества X \ B на m-1 класс. k - элементное подмножество B  X, содержащее элемент n+1 можно выбрать способами. Таким образом имеем:

<p style="margin-bottom: 0cm">'''3. '''Вернемся еще раз к связи комбинаторных объектов с исчислением конечных разностей. Из формулы ( 1 .13) следует, что, например,

<p style="margin-bottom: 0cm">, (1.15)

<p style="margin-bottom: 0cm">откуда заключаем на основании разложения ( 1 .8):

<p style="margin-bottom: 0cm">1! S(4, 1) = 1, 2! S(4, 2)=14, 3! S(4, 3) = 36, 4! S(4, 4) = 24.

<p style="margin-bottom: 0cm">Указанная связь дает альтернативный способ вычисления последовательности S(n, k).  

1.4.2.Числа Белла.
<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">Определение.

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">Общее число разбиений множества X, |X| = n на произвольные классы называется числом Белла и обозначается B(n). Таким образом по определению:

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">.

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">Положим по определению B(0) = 1.

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">Формула 3.

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">.

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">Доказательство. Напомним, что S(n, m)= 0 при m>n.

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">Тогда имеем следующую последовательность очевидных равенств:

<p style="margin-right: -1cm; text-indent: 1.25cm; margin-bottom: 0cm">